ポーランド生まれ。ワルシャワ音楽院で指揮、音楽理論、作曲を学び、1975年に卒業。同年、ポーランド国立歌劇場でデビュー。1976年、デュッセルドルフのライン・ドイツ・オペラの首席客演指揮者として契約、1977年には権威あるカラヤン指揮コンクールで第3位受賞、翌年ベルリンとニューヨークでデビューを飾った。
　 1978年、ポーランド国立放送交響楽団の首席指揮者となり、1980年には監督に就任、ロイヤル・フェスティバル・ホールでのデビューを含む数々のヨーロッパツアーを行った。
　 1982年にロンドンへ拠点を移して以来、ハレ管、ロイヤル・リヴァプール・フィル、ボーンマス響、ウルスター管、ロイヤル・スコティッシュ・ナショナル管、BBCスコティッシュ響、BBCウェールズ・ナショナル響と定期的に共演、プロムス・デビューを果たし、イングリッシュ・ナショナル・オペラやスコティッシュ・オペラ、リーズのオペラ・ノースで新しいプロダクションの指揮をするなど、幅広い活躍している。
　 ヨーロッパ各地では、ベルリン・フィル、バイエルン放送響、ベルリン放送響、シュトゥットガルト・フィル、パリ管、ウィーン響、ロイヤル・ストックホルム・フィル、オスロ・フィル、ベルゲン・フィル、チェコ・フィル、ロッテルダム・フィル、ヨーロッパ室内管などと共演、オーストリア・ツアーも行い、1991年から95年には、北オランダ・フィルの首席指揮者を務めた。オペラへの貢献も高く、パリのオペラ・コミ−ク、リヨン・オペラ、ボルドー・オペラ、ストックホルム歌劇場、チューリッヒ歌劇場、ベルゲン・オペラなどで度々指揮している。
　 また、読売日響とツアーを行っているほか、東京フィル、香港フィル、ニュージーランド響、チャイナ・フィルと共演。北アメリカでは、サン・ディエゴ響、シンシナティ響、ウィニペグ響、カルガリー響、デトロイト・オペラを指揮している。
　 12年ぶりの1994年、ポーランドへ帰郷、1996年にはナショナル・フィルの首席客演指揮者を務め、1998年ワルシャワのポーランド国立歌劇場音楽監督に就任。2002年から05年には総監督も兼務している。彼の在職中に、同歌劇場は国際的な名声を高め、北京音楽祭 (2001)、モスクワのボリショイ劇場 (2002)、ロンドンのサドラーズウェルズ劇場 (2004)、香港芸術祭 (2005)、スペインのペロラーダ・フェスティヴァル (2006) などに出演、非常に大きな賞賛を得た。また、カスプシクの指揮でポーランド国立歌劇場は数々のツアーを重ね、2001、03、05年の日本ツアーでは大成功を収めている。
　 2006年、ポーランドのワルシャワ・フィルの首席指揮者に就任。また、シンフォニア・ヴァルソヴィアとは長い関係を保ち、数々の録音をリリース。最近ではシュレスヴィヒ・ホルシュタイン音楽祭に出演し、2008年には日本ツアーをする予定である。
　 2006年、ビリニュスのリトアニア国立歌劇場の音楽監督に選出され、新演出のR.シュトラウスの『サロメ』、ワーグナーの『ワルキューレ』が就任の披露となった。そののち同歌劇場はカスプシクの指揮で、リュブリャーナ国際音楽祭、ラヴェンナ音楽祭に招かれ、それぞれ『サロメ』、『ワルキューレ』を上演した。
　 CDも幅広くリリースしており、ワルシャワ室内歌劇場とのロッシーニ『ブルスキーノ氏』、　ポーランド国立放送響とのベイルド『悲愴協奏曲』、さらに、ロンドン響、ロンドン・フィル、ロイヤル・フィルとの録音をコリンズ・クラシックスよりリリース、絶賛を博している。ポーランド国立歌劇場とは、2004年ＥＭＩによって国際的にリリースされたモニューシュコの『幽霊屋敷』、後にプラチナ・ディスクを受賞し、アコードからリリースされたペンデレツキの『ユビュ王』、2006年3月にBBCミュージック・マガジン誌の「レコード・オブ・ザ・イヤー」にノミネートされたシマノフスキ『ロジェ王』を録音している。最新盤は、シンフォニア・ヴァルソヴィア、ナイジェル・ケネディ（ヴァイオリン）と共演したシマノフスキとムリナルスキのヴァイオリン協奏曲で、EMIよりリリースされる予定である。